Теоремы о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов

$f_{n}(x) \to_{n \to \infty} f(x) ;~f_{n}^{'}(x)$ сходится равномерно на $[a,b],$ тогда : 1. $f_{n}(x) \rightrightarrows_{n \to \infty}^{[a,b]} f(x)$ 2. $f(x)~-$ дифференцируема 3. $f^{'}(x)=(\lim_{x \to \infty} f_{n}(x))^{'}=\lim_{x \to \infty} f_{n}^{'}(x)$

${} 1) {}$ Пусть $x_{0} \in [a,b]$ $\forall{\varepsilon>0}~~\exists{N(\varepsilon)}~~\forall{n>\mathbb{N}}\mathpunct{:}~~|f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})|< \dfrac{\varepsilon}{2}$ $\exists{\tilde{N}(\varepsilon)}~~\forall{n>\tilde{N}},\forall{m>\tilde{N}}~~\forall{x \in X}\mathpunct{:}~~|f_{n}^{'}(x) - f_{m}^{'}(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}$ $|f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq |f_{n}(x) - f_{m}(x) - (f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}))| +$ $+ |f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})| = \{[по т.Лагранжа]~\exists{c \in (x, x_{0}) \subset [a,b]} \} <$ $< |f_{n}^{'}(c) - f_{m}^{'}(c)|(x-x_{0}) + \dfrac{\varepsilon}{2} < \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)+ \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon~~\square$ По к. Коши (1) верно. $3)$ Рассмотрим $g(x) = \dfrac{f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})}{x - x_{0}} \xrightarrow{n \to \infty} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>g(x)$ Д-м: $g_{n}(x)~-$ сходится равномерно $|g_{n}(x) - g_{m}(x)| = \dfrac{1}{|x-x_{0}|}|f_{n}(x) - f_{n}(x_{0}) - (f_{m}(x) - f_{m}(x_{0})| =$ $=\dfrac{1}{|x-x_{0}|}|f_{n}^{'}(c) - f_{m}^{'}(c)||x-x_{0}|<\varepsilon \Rightarrow g(x)$ сходится равномерно $2)~f^{'}(x) = \lim_{x \to x_{0}} g(x) = \lim_{x \to x_{0}} \lim_{n \to \infty} g_{n}(x) = [по~т. о.пред.перес]$ $= = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to x_{0}} g_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}^{'}(x_{0})~~~\square$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) = S(x)~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{'}(x) \rightrightarrows_{n \to \infty}$ Д-во: $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ сходится равномерно, $S(x)~-$ дифференцируема и $S^{'}(x) = \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) \right)^{'} = \sum_{n=1}^{\infty} a^{'}_{n}(x)$